Кольцо без единицы

Учитывая множество R и операции + и *, мы говорим, что (R, +, *) - это кольцо без единицы, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

(R, +) является абелевой группой
Для любых x и y ∈ R: x * y ∈ R.
Для любых x, y и z ∈ R: (x * y) * z = x * (y * z).
Для любых x, y и z ∈ R: x * (y + z) = x * y + x * z и (x + y) * z = x * z + y * z.

Законы кольца без единицы:

Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

Код

trait Rng[A] extends AbelianGroup[A], Semiring[A]

Законы

Законы наследуются от законов абелевой группы и полукольца.

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class Group~A~{
      +inverse(x: A) A
    }  
    Monoid <|-- Group 
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class AbelianGroup~A~
    Group <|-- AbelianGroup
    CommutativeMonoid <|-- AbelianGroup
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Rng~A~
    AbelianGroup <|-- Rng
    Semiring <|-- Rng

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

Rng[A] обеспечивает коммутативные +, zero, -, и *. Rng[A] расширяет Semiring[A] и AdditiveAbGroup[A].

negate (-): обратная операция сложению
minus (-): вычитание
zero: аддитивное тождество (такой элемент, что для любого x из множества x + zero = x)

import spire.algebra.Rng
import spire.math.Rational

Rng.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Rng.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Rng.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Rng.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
Rng.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
Rng.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0

Ссылки:

← Предыдущая Следующая →