Коммутативное полукольцо с единицей

Коммутативное полукольцо с единицей - полукольцо с единицей, коммутативное относительно умножения.

Для коммутативного полукольца с единицей должны соблюдаться следующие законы:

Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y \in S\).
Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in S\) такой, что для \(\forall x \in S\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y = y + x\).
Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y \in S\).
Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
Мультипликативное свойство нуля: \(a * 0 = 0 * a = 0\)
Существование единичного элемента: \(\exists 1 \in S \quad \forall x \in S \quad x * 1 = 1 * x = x\)
Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).

Код

trait CommutativeRig[A] extends Rig[A] with CommutativeSemiring[A]

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
      +combine(x: A, y: A) A
    }
    class Monoid~A~{
      +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
      +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Rig~A~{
      +one() A
    }
    Semiring <|-- Rig
    class CommutativeSemiring~A~
    Semiring <|-- CommutativeSemiring
    class CommutativeRig~A~
    Rig <|-- CommutativeRig
    CommutativeSemiring <|-- CommutativeRig

Ссылки:

← Предыдущая Следующая →