Инвариантный функтор

Формальное определение

Инвариантный функтор поддерживает операцию xmap (или imap), которая преобразует F[A] в F[B] с учетом двух функций: A => B и B => A.

Если функтор создает новые экземпляры класса типов, добавляя функцию в конец цепочки преобразований, а контравариантный функтор создает их, добавляя функцию в начало цепочки преобразований, то инвариантный функтор создает их с помощью пары двунаправленных преобразований.

Инвариантный функтор должен удовлетворять двум законам:

Identity (тождественность): Если определен метод идентификации identity такой, что: identity(a) == a, тогда xmap(ma)(identity, identity) == ma.
Composition (композиция) - xmap(xmap(ma, f1, g1), f2, g2) == xmap(ma, f2 compose f1, g1 compose g2)

Также известен как экспоненциальный функтор.

Определение в виде кода на Scala

trait InvariantFunctor[F[_]]:
  extension [A](fa: F[A]) 
    def xmap[B](f: A => B, g: B => A): F[B]

Примеры

"Обертка"

import cats.Id

given InvariantFunctor[Id] with
  extension [A](fa: Id[A])
    override def xmap[B](f: A => B, g: B => A): Id[B] = Id(f(fa))

Докажем, что Id удовлетворяет законам инвариантного функтора.

тождественность: xmap(ma)(identity, identity) == ma
- по определению метода xmap получим: Id(a).xmap(identity, identity) == Id(identity(a)) == Id(a)
композиция: xmap(xmap(ma, f1, g1), f2, g2) == xmap(ma, f2 compose f1, g1 compose g2)
- по определению метода xmap получим: Id(a).xmap(f1, g1).xmap(f2, g2) == Id(f1(a)).xmap(f2, g2) == Id(f2(f1(a))) и Id(a).xmap(f2 compose f1, g1 compose g2) == Id(f2(f1(a)))

Codec

Зачастую инвариантный функтор используется в кодеках, кодирующих и декодирующих строки.

trait Codec[A]:
  def encode(value: A): String
  def decode(value: String): A

given InvariantFunctor[Codec] with
  extension [A](fa: Codec[A])
    override def xmap[B](f: A => B, g: B => A): Codec[B] =
      new Codec[B]:
        def encode(value: B): String = fa.encode(g(value))

        def decode(value: String): B = f(fa.decode(value))

Докажем, что Codec удовлетворяет законам инвариантного функтора.

тождественность: xmap(ma)(identity, identity) == ma
- по определению метода xmap получим: fa.xmap(identity, identity) ==
```
def encode(value: A): String = fa.encode(identity(value)) = fa.encode(value)
def decode(value: String): A = identity(fa.decode(value)) = = fa.decode(value)
```
  Это эквивалентно исходному fa (в случае использования чистых функций) - проксируются его методы.

композиция: xmap(xmap(ma, f1, g1), f2, g2) == xmap(ma, f2 compose f1, g1 compose g2)

по определению метода xmap получим xmap(xmap(ma, f1, g1), f2, g2) ==:

def encode(value: C): String = fb.encode(g2(value)) = fa.encode(g1(g2(value)))
def decode(value: String): C = f2(fb.decode(value)) = f2(f1(fa.decode(value)))

xmap(ma, f2 compose f1, g1 compose g2) ==:

def encode(value: C): String = fa.encode(g1 compose g2) = fa.encode(g1(g2(value)))
def decode(value: String): C = (f2 compose f1)(fa.decode(value)) = f2(f1(fa.decode(value)))

Ссылки: