Кольца НОД
Формальное определение
Кольца НОД - коммутативное кольцо с единицей с добавлением наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Кольца НОД поддерживают следующие операции:
gcd: наибольший общий делительlcm: наименьшее общее кратное
Для Кольца НОД должны соблюдаться законы родителей:
- Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
- Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
- Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
- Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
- Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
- Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
- Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
- Существование единичного элемента: \(\exists 1 \in R \quad \forall x \in R \quad x * 1 = 1 * x = x\)
- Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).
- Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
, а также следующие законы:
- для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(gcd(x, y) * lcm(x, y) = x * y\).
- Ассоциативность НОД: для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(gcd(gcd(x, y), z) = gcd(x, gcd(y, z))\).
- Коммутативность НОД: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(gcd(x, y) = gcd(y, x)\).
- Ассоциативность НОК: для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(lcm(lcm(x, y), z) = lcm(x, lcm(y, z))\).
- Коммутативность НОК: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(lcm(x, y) = lcm(y, x)\).
Определение в виде кода на Scala
trait GCDRing[A] extends CRingWithUnity[A]:
def gcd(x: A, y: A): A
def lcm(x: A, y: A): AЗаконы в виде кода на Scala
trait GCDRingLaw extends CRingWithUnityLaw:
def checkGCDRingLaw[A: GCDRing](
x: A,
y: A,
z: A
): ValidatedNel[String, Unit] =
checkCRingWithUnityLaw(x, y, z) combine
check(
GCDRing[A].times(GCDRing[A].gcd(x, y), GCDRing[A].lcm(x, y)) ==
GCDRing[A].times(y, x),
"gcd(x, y) * lcm(x, y) = x * y"
) combine
check(
GCDRing[A].gcd(GCDRing[A].gcd(x, y), z) ==
GCDRing[A].gcd(x, GCDRing[A].gcd(y, z)),
"gcd associativity: gcd(gcd(x, y), z) = gcd(x, gcd(y, z))"
) combine
check(
GCDRing[A].gcd(x, y) == GCDRing[A].gcd(y, x),
"gcd commutative: gcd(x, y) = gcd(y, x)"
) combine
check(
GCDRing[A].lcm(GCDRing[A].lcm(x, y), z) ==
GCDRing[A].lcm(x, GCDRing[A].lcm(y, z)),
"lcm associativity: lcm(lcm(x, y), z) = lcm(x, lcm(y, z))"
) combine
check(
GCDRing[A].lcm(x, y) == GCDRing[A].lcm(y, x),
"lcm commutative: lcm(x, y) = lcm(y, x)"
)Примеры
Числа относительно сложения с 0 и умножения с 1
(Z, +, *)
given GCDRing[Int] with
val empty: Int = 0
val one: Int = 1
def combine(x: Int, y: Int): Int = x + y
def times(x: Int, y: Int): Int = x * y
def gcd(x: Int, y: Int): Int =
if y == 0 then x else gcd(y, x % y)
def lcm(x: Int, y: Int): Int = times(x, y) / gcd(x, y)
extension (a: Int) override def inverse: Int = -aРеализация
Реализация в Spire
import spire.algebra.GCDRing
import spire.math.Rational
import spire.std.int.*
GCDRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
GCDRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
GCDRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
GCDRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
GCDRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
GCDRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
GCDRing.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1
GCDRing.gcd(15, 10)
// val res7: Int = 5
GCDRing.lcm(15, 10)
// val res8: Int = 30Ссылки: