Полукольцо с единицей

Полукольцо с единицей - это полукольцо, в котором существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): \(\exists 1 \in S \quad \forall a \in S \quad a * 1 = 1 * a = a\).

Для полукольца с единицей должны соблюдаться все законы полукольца:

Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y \in S\).
Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in S\) такой, что для \(\forall x \in S\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y = y + x\).
Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y \in S\).
Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
Мультипликативное свойство нуля: \(a * 0 = 0 * a = 0\)

, а также закон тождественности по умножению:

Существование единичного элемента: \(\exists 1 \in S \quad \forall x \in S \quad x * 1 = 1 * x = x\)

Код

trait Rig[A] extends Semiring[A]:
  def one: A

Законы

Законы полукольца
Проверка существования единичного элемента. Единичный элемент (su.one) — это такой элемент, который при умножении на любой другой элемент x не изменяет его значение. Это можно выразить двумя способами:
- Если умножить x на единичный элемент (su.one), результат будет равен x: su.times(x, su.one) == x
- Если умножить единичный элемент (su.one) на x, результат также будет равен x: su.times(su.one, x) == x

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }
   
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Rig~A~{
        +one() A
    }
    Semiring <|-- Rig

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

Rig[A] обеспечивает +, zero, * и one. Rig[A] расширяет Semiring[A] и MultiplicativeMonoid[A].

zero: аддитивное тождество
one: мультипликативное тождество (такой элемент, что для любого x из множества x * one = x)

import spire.algebra.Rig
import spire.math.Rational

Rig.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Rig.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Rig.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Rig.zero[Rational]
// val res3: spire.math.Rational = 0
Rig.one[Rational]
// val res4: spire.math.Rational = 1

Ссылки:

← Полукольцо Коммутативное полукольцо →