Кольцо

Кольцо — это одна из ключевых алгебраических структур в математике, которая обобщает понятие чисел и операций над ними. Кольцо определяется как множество, на котором заданы две бинарные операции (обычно называемые сложением и умножением), удовлетворяющие определённым аксиомам.

Определение кольца

Кольцо — это множество \(R\), на котором определены две бинарные операции:

• Сложение (\(+\)): коммутативная и ассоциативная операция.
• Умножение (\(\cdot\)): ассоциативная операция.

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

• Коммутативность сложения: \(a + b = b + a\) для любых \(a, b \in R\).
• Ассоциативность сложения: \((a + b) + c = a + (b + c)\) для любых \(a, b, c \in R\).
• Наличие нулевого элемента: существует элемент \(0 \in R\) такой, что \(0 + a = a + 0 = a\) для любого \(a \in R\).
• Наличие противоположного элемента: для любого \(a \in R\) существует элемент \(-a \in R\) такой, что \(a + (-a) = 0\).
• Ассоциативность умножения: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) для любых \(a, b, c \in R\).
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:
  • \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) (левая дистрибутивность),
  • \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) (правая дистрибутивность).

Дополнительные свойства колец

• Кольцо с единицей: Если в кольце существует элемент \(1 \in R\) (называемый единицей), такой, что \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\) для любого \(a \in R\), то такое кольцо называется кольцом с единицей.
• Коммутативное кольцо: Если операция умножения коммутативна, то есть \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a, b \in R\), то такое кольцо называется коммутативным кольцом.
• Область целостности: Коммутативное кольцо с единицей, в котором нет делителей нуля (то есть если \(a \cdot b = 0\), то \(a = 0\) или \(b = 0\)), называется областью целостности.
• Тело и поле:
  • Тело — это кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный по умножению.
  • Поле — это коммутативное тело.

Примеры колец

• Кольцо целых чисел \(\mathbb{Z}\):
  • Операции: сложение и умножение.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо многочленов \(\mathbb{R}[x]\):
  • Операции: сложение и умножение многочленов.
  • Нулевой элемент: нулевой многочлен.
  • Единичный элемент: многочлен \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо матриц \(M_n(\mathbb{R})\):
  • Операции: сложение и умножение матриц.
  • Нулевой элемент: нулевая матрица.
  • Единичный элемент: единичная матрица.
  • Некоммутативное кольцо с единицей (если \(n > 1\)).
• Кольцо вычетов \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\):
  • Операции: сложение и умножение по модулю \(n\).
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо функций \(C([a, b])\):
  • Множество: непрерывные функции на отрезке \([a, b]\).
  • Операции: поточечное сложение и умножение функций.
  • Нулевой элемент: нулевая функция.
  • Единичный элемент: функция, тождественно равная \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.

Зачем нужны кольца?

Кольца играют важную роль в математике и её приложениях:

• Алгебра: кольца являются одной из основных алгебраических структур, изучаемых в абстрактной алгебре.
• Теория чисел: кольца используются для изучения свойств чисел, например, в теории делимости.
• Геометрия: кольца многочленов применяются в алгебраической геометрии.
• Физика: кольца используются для описания симметрий в физических системах.
• Криптография: кольца вычетов применяются в алгоритмах шифрования.

Формальное определение

Кольцо (Ring) - это полукольцо, являющееся абелевой группой по сложению.

Учитывая множество R и операции + и *, мы говорим, что (R, +, *) - это кольцо, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

• (R, +) является абелевой группой
• Для любых x и y ∈ R: x * y ∈ R.
• Для любых x, y и z ∈ R: (x * y) * z = x * (y * z).
• Для любых x, y и z ∈ R: x * (y + z) = x * y + x * z и (x + y) * z = x * z + y * z.

Законы кольца:

• Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
• Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
• Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
• Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
• Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
• Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
• Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

Код

trait Ring[A] extends AbGroup[A], Semiring[A]

Числа относительно сложения с 0 и умножения

(Z, +, *)

given Ring[Int] with
  val empty                                    = 0
  def combine(x: Int, y: Int): Int             = x + y
  def times(x: Int, y: Int): Int               = x * y
  extension (a: Int) override def inverse: Int = -a

Матрицы

Набор квадратных матриц заданного размера представляет собой кольцо.

Законы

Законы наследуются от законов абелевой группы и полукольца.

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class Group~A~{
      +inverse(x: A) A
    }  
    Monoid <|-- Group 
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class AbelianGroup~A~
    Group <|-- AbelianGroup
    CommutativeMonoid <|-- AbelianGroup
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Ring~A~
    AbelianGroup <|-- Ring
    Semiring <|-- Ring

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

import spire.algebra.Rng
import spire.math.Rational

Rng.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Rng.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Rng.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Rng.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
Rng.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
Rng.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0

Ссылки:

• Algebird
• Spire home page
• Spire User's Guide
• Wikipedia