Кольцо

Формальное определение

Кольцо (Ring) - это полукольцо, являющееся абелевой группой по сложению.

Учитывая множество R и операции + и *, мы говорим, что (R, +, *) - это кольцо, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

(R, +) является абелевой группой
Для любых x и y ∈ R: x * y ∈ R.
Для любых x, y и z ∈ R: (x * y) * z = x * (y * z).
Для любых x, y и z ∈ R: x * (y + z) = x * y + x * z и (x + y) * z = x * z + y * z.

Законы кольца:

Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

Определение в виде кода на Scala

trait Ring[A] extends AbGroup[A], Semiring[A]

Законы в виде кода на Scala

trait RingLaw extends AbGroupLaw, SemiringLaw:
  def checkRingLaw[A: Ring](x: A, y: A, z: A): ValidatedNel[String, Unit] =
    checkAbGroupLaw(x, y, z) combine
      checkSemiringLaw(x, y, z)

Примеры

Числа относительно сложения с 0 и умножения

(Z, +, *)

given Ring[Int] with
  val empty                                    = 0
  def combine(x: Int, y: Int): Int             = x + y
  def times(x: Int, y: Int): Int               = x * y
  extension (a: Int) override def inverse: Int = -a

Матрицы

Набор квадратных матриц заданного размера представляет собой кольцо.

Реализация

Реализация в Spire

import spire.algebra.Rng
import spire.math.Rational

Rng.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Rng.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Rng.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Rng.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
Rng.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
Rng.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0

Ссылки: