Коммутативное кольцо без единицы

Коммутативное кольцо - кольцо без единицы, коммутативное относительно умножения.

Для коммутативного кольца должны соблюдаться все законы кольца:

Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

, а также закон коммутативности умножения:

Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).

Код

trait CommutativeRng[A] extends Rng[A], CSemiring[A]

Законы

Законы наследуются от законов кольца и коммутативного полукольца.

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class Group~A~{
      +inverse(x: A) A
    }  
    Monoid <|-- Group 
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class AbelianGroup~A~
    Group <|-- AbelianGroup
    CommutativeMonoid <|-- AbelianGroup
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Rng~A~
    AbelianGroup <|-- Rng
    Semiring <|-- Rng
    class CommutativeSemiring~A~
    Semiring <|-- CommutativeSemiring
    class CommutativeRng~A~
    Rng <|-- CommutativeRng
    CommutativeSemiring <|-- CommutativeRng

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

CRing[A] обеспечивает коммутативный +, zero, -, коммутативный * и one. CRing[A] расширяет Ring[A] и MultiplicativeCMonoid[A].

import spire.algebra.CRing
import spire.math.Rational

CRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
CRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
CRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
CRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
CRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
CRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
CRing.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1

Ссылки:

← Кольцо Коммутативное полукольцо с единицей →