Поле

Поле — это алгебраическая структура, которая является коммутативным кольцом с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный относительно умножения. Поля являются одной из ключевых структур в математике, обобщающих свойства чисел и операций над ними.

Определение поля

Поле — это множество \(F\), на котором определены две бинарные операции:

• Сложение (\(+\)): коммутативная и ассоциативная операция.
• Умножение (\(\cdot\)): коммутативная и ассоциативная операция.

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

• Коммутативность сложения: \(a + b = b + a\) для любых \(a, b \in F\).
• Ассоциативность сложения: \((a + b) + c = a + (b + c)\) для любых \(a, b, c \in F\).
• Наличие нулевого элемента: существует элемент \(0 \in F\) такой, что \(0 + a = a + 0 = a\) для любого \(a \in F\).
• Наличие противоположного элемента: для любого \(a \in F\) существует элемент \(-a \in F\) такой, что \(a + (-a) = 0\).
• Коммутативность умножения: \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a, b \in F\).
• Ассоциативность умножения: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) для любых \(a, b, c \in F\).
• Наличие единичного элемента: существует элемент \(1 \in F\) такой, что \(a \cdot 1 = a\) для любого \(a \in F\).
• Наличие обратного элемента: для любого \(a \in F\), \(a \neq 0\), существует элемент \(a^{-1} \in F\) такой, что \(a \cdot a^{-1} = 1\).
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:
  • \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) (левая дистрибутивность),
  • \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) (правая дистрибутивность).

Примеры полей

• Поле рациональных чисел \(\mathbb{Q}\):
  • Операции: сложение и умножение.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Обратный элемент для \(a \neq 0\): \(\frac{1}{a}\).
• Поле действительных чисел \(\mathbb{R}\):
  • Операции: сложение и умножение.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Обратный элемент для \(a \neq 0\): \(\frac{1}{a}\).
• Поле комплексных чисел \(\mathbb{C}\):
  • Операции: сложение и умножение.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Обратный элемент для \(a + bi \neq 0\): \(\frac{a - bi}{a^2 + b^2}\).
• Конечные поля (поля Галуа):
  • Например, поле \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), где \(p\) — простое число.
  • Операции: сложение и умножение по модулю \(p\).
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Обратный элемент для \(a \neq 0\): элемент \(b\), такой, что \(a \cdot b \equiv 1 \pmod{p}\).

Свойства полей

• Обратимость ненулевых элементов: В поле каждый ненулевой элемент имеет обратный относительно умножения.
• Отсутствие делителей нуля: В поле если \(a \cdot b = 0\), то \(a = 0\) или \(b = 0\).
• Характеристика поля: Характеристика поля — это наименьшее положительное целое число \(n\) такое, что \(n \cdot 1 = 0\). Если такого числа не существует, то характеристика поля равна \(0\).
• Подполя: Подмножество поля, которое само является полем относительно тех же операций, называется подполем.

Зачем нужны поля?

Поля находят применение в различных областях:

• Алгебра: изучаются как базовые алгебраические структуры.
• Теория чисел: используются для анализа свойств чисел и их операций.
• Геометрия: применяются в алгебраической геометрии.
• Физика: используются для описания симметрий в физических системах.
• Криптография: конечные поля применяются в алгоритмах шифрования.
• Компьютерные науки: используются в алгоритмах работы с многочленами и числами.

Формальное определение

Поля расширяют Евклидово кольцо, добавляя операцию обратную умножению для всех элементов, за исключением нуля по сложению.

Field[A] поддерживает следующие операции:

• reciprocal (a.reciprocal): обратная операция умножению. Мультипликативный обратный a, т.е. one/a.
• div (/, a / b): деление a на b.

Формально, поле — алгебра над множеством \(\mathbf{F}\), образующая коммутативную группу по сложению \(\mathbf{+}\) над \(\mathbf{F}\) с нейтральным элементом \(\mathbf{0}\) и коммутативную группу по умножению \(\mathbf{*}\) над ненулевыми элементами \(\mathbf{F} \backslash \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}\), при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения. Подразумевается также применимость операции \(\mathbf{*}\) к нулевому элементу по сложению с сохранением свойства дистрибутивности на всём множестве \(\mathbf{F}\).

Если раскрыть определение, то множество \(\mathbf{F}\) с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения \(\mathbf{+}\) и умножения \(\mathbf{*}\) (\(\mathbf{+}\colon \mathbf{F} \times \mathbf{F} \to \mathbf{F},\mathbf{*}\colon \mathbf{F} \times \mathbf{F} \to \mathbf{F}\), то есть \(\forall a, b \in F \quad (a + b) \in F, (a * b) \in F\) называется полем \(\left< F, +, * \right>\), если выполнены следующие аксиомы:

• Ассоциативность сложения: для \(\forall x, y, z \in F\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in F\) такой, что для \(\forall x \in F\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
• Обратимость сложения: для \(\forall x \in F\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
• Коммутативность сложения: для \(\forall x, y \in F\) выполняется \(x + y = y + x\).
• Ассоциативность умножения: для \(\forall x, y, z \in F\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
• Существование единичного элемента: \(\exists 1 \in F \quad \forall x \in F \quad x * 1 = 1 * x = x\)
• Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in F\) выполняется \(x * y = y * x\).
• Существование обратного элемента для ненулевых элементов: \((\forall x \in F: x \neq 0) \quad \exists x^{-1} \in F: \quad x * x^{-1} = 1\).
• Дистрибутивность умножения относительно сложения: для \(\forall x, y, z \in F\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

Код

trait Field[A] extends EuclideanRing[A]:
  extension (a: A) def reciprocal: A

  def div(x: A, y: A): A = times(x, y.reciprocal)

Рациональные числа со сложением и умножением

import spire.math.Rational

given Field[Rational] with
  val empty: Rational = Rational(0)
  val one: Rational   = Rational(1)
  def combine(x: Rational, y: Rational): Rational = x + y
  def times(x: Rational, y: Rational): Rational = x * y
  def gcd(x: Rational, y: Rational): Rational = one
  def lcm(x: Rational, y: Rational): Rational = times(x, y)
  def quot(x: Rational, y: Rational): Rational = x / y
  def mod(x: Rational, y: Rational): Rational = empty

  extension (a: Rational)
    def inverse: Rational    = Rational(-a.numerator, a.denominator)
    def reciprocal: Rational = Rational(a.denominator, a.numerator)
end given

Законы

Законы наследуются от Евклидова кольца.

Кроме того:

• Закон существования обратного по умножению числа: Утверждение гласит, что для любого числа \(x\) (кроме нуля) должно существовать обратное число \(x^{-1}\) (или \(\text{reciprocal}\)), такое что их произведение равно единице. x == fi.empty || fi.times(x, x.reciprocal) == fi.one

... // Законы Евклидова кольца

def checkReciprocal[A](x: A)(using fi: Field[A]): ValidatedNel[String, Unit] =
  Either.cond[String, Unit](
    x == fi.empty || fi.times(x, x.reciprocal) == fi.one,
    (),
    "Не соблюдается закон существования обратного по умножению числа: x * x^{-1} = 1"
  ).toValidatedNel

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class Group~A~{
      +inverse(x: A) A
    }  
    Monoid <|-- Group 
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class AbelianGroup~A~
    Group <|-- AbelianGroup
    CommutativeMonoid <|-- AbelianGroup
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Ring~A~
    AbelianGroup <|-- Ring
    Semiring <|-- Ring
    class CommutativeSemiring~A~
    Semiring <|-- CommutativeSemiring
    class SemiringWithUnity~A~{
        +one() A
    }
    Semiring <|-- SemiringWithUnity
    class CommutativeRing~A~
    Ring <|-- CommutativeRing
    CommutativeSemiring <|-- CommutativeRing
    class RingWithUnity~A~
    Ring <|-- RingWithUnity
    SemiringWithUnity <|-- RingWithUnity
    class CommutativeRingWithUnity~A~
    CommutativeRing <|-- CommutativeRingWithUnity
    RingWithUnity <|-- CommutativeRingWithUnity
    class GCDRing~A~{
        +gcd(x: A, y: A) A
        +lcm(x: A, y: A) A
    }
    CommutativeRingWithUnity <|-- GCDRing
    class EuclideanRing~A~{
        +quot(x: A, y: A) A
        +mod(x: A, y: A) A
    }
    GCDRing <|-- EuclideanRing
    class Field~A~{
        +reciprocal(x: A) A
        +div(x: A, y: A) A
    }
    EuclideanRing <|-- Field

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

import spire.math.Real.apply

15.reciprocal
// val res0: spire.math.Real = 1/15
15 / 3
// val res1: Int = 5
15.24.ceil
// val res2: spire.math.Real = 16
15.24.floor
// val res3: spire.math.Real = 15
15.24.round
// val res4: spire.math.Real = 15

Ссылки:

• Spire home page
• Spire User's Guide
• Wikipedia