Коммутативное кольцо

Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения коммутативна. Это означает, что для любых элементов \(a\) и \(b\) из кольца выполняется равенство \(a \cdot b = b \cdot a\).

Определение коммутативного кольца

Коммутативное кольцо — это множество \(R\), на котором определены две бинарные операции:

• Сложение (\(+\)): коммутативная и ассоциативная операция.
• Умножение (\(\cdot\)): коммутативная и ассоциативная операция.

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

• Коммутативность сложения: \(a + b = b + a\) для любых \(a, b \in R\).
• Ассоциативность сложения: \((a + b) + c = a + (b + c)\) для любых \(a, b, c \in R\).
• Наличие нулевого элемента: существует элемент \(0 \in R\) такой, что \(0 + a = a + 0 = a\) для любого \(a \in R\).
• Наличие противоположного элемента: для любого \(a \in R\) существует элемент \(-a \in R\) такой, что \(a + (-a) = 0\).
• Ассоциативность умножения: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) для любых \(a, b, c \in R\).
• Коммутативность умножения: \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a, b \in R\).
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:
  • \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) (левая дистрибутивность),
  • \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) (правая дистрибутивность).

Примеры коммутативных колец

• Кольцо целых чисел \(\mathbb{Z}\):
  • Операции: сложение и умножение.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо действительных чисел \(\mathbb{R}\):
  • Операции: сложение и умножение.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо многочленов \(\mathbb{R}[x]\):
  • Операции: сложение и умножение многочленов.
  • Нулевой элемент: нулевой многочлен.
  • Единичный элемент: многочлен \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо вычетов \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\):
  • Операции: сложение и умножение по модулю \(n\).
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.
• Кольцо функций \(C([a, b])\):
  • Множество: непрерывные функции на отрезке \([a, b]\).
  • Операции: поточечное сложение и умножение функций.
  • Нулевой элемент: нулевая функция.
  • Единичный элемент: функция, тождественно равная \(1\).
  • Коммутативное кольцо с единицей.

Зачем нужны коммутативные кольца?

Коммутативные кольца играют важную роль в математике и её приложениях:

• Алгебра: изучаются как базовые алгебраические структуры.
• Теория чисел: используются для анализа свойств чисел, например, в теории делимости.
• Геометрия: кольца многочленов применяются в алгебраической геометрии.
• Физика: используются для описания симметрий в физических системах.
• Криптография: кольца вычетов применяются в алгоритмах шифрования.

Формальное определение

Коммутативное кольцо - кольцо, коммутативное относительно умножения.

Для коммутативного кольца должны соблюдаться все законы кольца:

• Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
• Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
• Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
• Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
• Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
• Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
• Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

, а также закон коммутативности умножения:

• Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).

Код

trait CRing[A] extends Ring[A], CSemiring[A]

Числа относительно сложения с 0 и умножения

(Z, +, *)

given CRing[Int] with
  val empty                                    = 0
  def combine(x: Int, y: Int): Int             = x + y
  def times(x: Int, y: Int): Int               = x * y
  extension (a: Int) override def inverse: Int = -a

Законы

Законы наследуются от законов кольца и коммутативного полукольца.

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class Group~A~{
      +inverse(x: A) A
    }  
    Monoid <|-- Group 
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class AbelianGroup~A~
    Group <|-- AbelianGroup
    CommutativeMonoid <|-- AbelianGroup
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class Ring~A~
    AbelianGroup <|-- Ring
    Semiring <|-- Ring
    class CommutativeSemiring~A~
    Semiring <|-- CommutativeSemiring
    class CommutativeRing~A~
    Ring <|-- CommutativeRing
    CommutativeSemiring <|-- CommutativeRing

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

import spire.algebra.CRing
import spire.math.Rational

CRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
CRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
CRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
CRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
CRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
CRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0

Ссылки:

• Spire home page
• Spire User's Guide
• Wikipedia