Коммутативное кольцо
Формальное определение
Коммутативное кольцо - кольцо, коммутативное относительно умножения.
Для коммутативного кольца должны соблюдаться все законы кольца:
- Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
- Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
- Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
- Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
- Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
- Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
- Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
- Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
, а также закон коммутативности умножения:
- Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).
Определение в виде кода на Scala
trait CRing[A] extends Ring[A]Законы в виде кода на Scala
trait CRingLaw extends RingLaw:
def checkCRingLaw[A: CRing](x: A, y: A, z: A): ValidatedNel[String, Unit] =
checkRingLaw(x, y, z) combine
check(
CRing[A].times(x, y) == CRing[A].times(y, x),
"times commutative: x * y = y * x"
)Примеры
Числа относительно сложения с 0 и умножения
(Z, +, *)
given CRing[Int] with
val empty = 0
def combine(x: Int, y: Int): Int = x + y
def times(x: Int, y: Int): Int = x * y
extension (a: Int) override def inverse: Int = -aРеализация
Реализация в Spire
import spire.algebra.CRing
import spire.math.Rational
CRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
CRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
CRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
CRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
CRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
CRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0Ссылки: