Абелева группа

Формальное определение

AbGroup[A] - "абелева группа", группа, которая является коммутативной.

Помимо законов группы:

• Замыкание (closure): для \(\forall x, y \in G\) выполняется \(x + y \in G\).
• Ассоциативность (associativity): для \(\forall x, y, z \in G\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Тождественность или существования нейтрального элемента (identity): существует \(\exists e \in G\) такой, что для \(\forall x \in G\) выполняется \(e + x = x + e = x\)
• Обратимость: для \(\forall x \in G\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)

должен соблюдаться закон:

• Коммутативность (commutative): для \(\forall x, y \in G\) выполняется \(x + y = y + x\).

Определение в виде кода на Scala

trait AbGroup[A] extends Group[A], CMonoid[A]

Законы в виде кода на Scala

trait AbGroupLaw extends GroupLaw, CMonoidLaw:
  def checkAbGroupLaw[A: AbGroup](
      x: A,
      y: A,
      z: A
  ): ValidatedNel[String, Unit] =
    checkGroupLaw(x, y, z) combine checkCMonoidLaw(x, y, z)

Примеры

Целые числа Z являются абелевой группой по сложению

given AbGroup[Int] with
  override val empty                           = 0
  override def combine(x: Int, y: Int): Int    = x + y
  extension (a: Int) override def inverse: Int = -a

Реализация

Реализация в Spire

import spire.algebra.AbGroup

AbGroup[Int].inverse(1) // -1

Ссылки:

• Spire home page
• Wikipedia