Абелева группа

Абелева группа (или коммутативная группа) — это алгебраическая структура, которая объединяет свойства группы и коммутативности. Разберем эти понятия по отдельности, а затем объединим их.

а) Группа

Группа — это множество \(G\), на котором определена бинарная операция \(\cdot\) (обычно называемая умножением или сложением), удовлетворяющая следующим свойствам:

• Ассоциативность: для любых \(a, b, c \in G\) выполняется \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).
• Наличие нейтрального элемента: существует элемент \(e \in G\) такой, что для любого \(a \in G\) выполняется \(e \cdot a = a \cdot e = a\).
• Наличие обратного элемента: для любого \(a \in G\) существует элемент \(a^{-1} \in G\) такой, что \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\).

б) Коммутативность

Операция \(\cdot\) называется коммутативной, если для любых \(a, b \in G\) выполняется: \(a \cdot b = b \cdot a.\)

Таким образом, абелева группа — это группа, в которой операция \(\cdot\) коммутативна. То есть:

• Ассоциативность: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) для любых \(a, b, c \in G\).
• Наличие нейтрального элемента: существует \(e \in G\) такой, что \(e \cdot a = a \cdot e = a\) для любого \(a \in G\).
• Наличие обратного элемента: для любого \(a \in G\) существует \(a^{-1} \in G\) такой, что \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\).
• Коммутативность: \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a, b \in G\).

Примеры абелевых групп

• Множество целых чисел с сложением:
  • Операция: \(+\).
  • Нейтральный элемент: \(0\).
  • Обратный элемент для \(a\): \(-a\).
  • Коммутативность: \(a + b = b + a\).
• Множество действительных чисел с сложением:
  • Операция: \(+\).
  • Нейтральный элемент: \(0\).
  • Обратный элемент для \(a\): \(-a\).
  • Коммутативность: \(a + b = b + a\).
• Множество комплексных чисел с сложением:
  • Операция: \(+\).
  • Нейтральный элемент: \(0\).
  • Обратный элемент для \(a\): \(-a\).
  • Коммутативность: \(a + b = b + a\).
• Множество ненулевых действительных чисел с умножением:
  • Операция: \(\times\).
  • Нейтральный элемент: \(1\).
  • Обратный элемент для \(a\): \(\frac{1}{a}\).
  • Коммутативность: \(a \times b = b \times a\).
• Множество векторов на плоскости с операцией сложения векторов:
  • Операция: \(+\).
  • Нейтральный элемент: нулевой вектор \(\overrightarrow{0}\).
  • Обратный элемент для \(\overrightarrow{a}\): \(-\overrightarrow{a}\).
  • Коммутативность: \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\).

Зачем нужны абелевы группы?

Абелевы группы играют важную роль в математике и её приложениях:

• Алгебра: изучаются как базовые алгебраические структуры.
• Теория чисел: используются для анализа свойств чисел и их операций.
• Линейная алгебра: векторные пространства являются абелевыми группами относительно сложения векторов.
• Топология: применяются в алгебраической топологии для изучения гомологий и когомологий.
• Физика: используются для описания симметрий в физических системах.

Таким образом, абелевы группы — это важный объект изучения, позволяющий анализировать системы с коммутативными, ассоциативными операциями, нейтральным и обратными элементами.

Формальное определение

AbGroup[A] - "абелева группа", группа, которая является коммутативной.

Помимо законов группы:

• Замыкание (closure): для \(\forall x, y \in G\) выполняется \(x + y \in G\).
• Ассоциативность (associativity): для \(\forall x, y, z \in G\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Тождественность или существования нейтрального элемента (identity): существует \(\exists e \in G\) такой, что для \(\forall x \in G\) выполняется \(e + x = x + e = x\)
• Обратимость: для \(\forall x \in G\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)

должен соблюдаться закон:

• Коммутативность (commutative): для \(\forall x, y \in G\) выполняется \(x + y = y + x\).

Код

trait AbGroup[A] extends Group[A], CMonoid[A]

Целые числа Z являются абелевой группой по сложению

given AbGroup[Int] with
  val empty                        = 0
  def combine(x: Int, y: Int): Int = x + y
  extension (a: Int)
    def inverse: Int = -a

Законы

Законы наследуются от группы и коммутативного моноида.

• Замыкание следует из определения функции combine: тип результата этой функции совпадает с типом переменных, которые она принимает.
• Ассоциативность выражается следующим образом: g.combine(x, g.combine(y, z)) должно быть равно g.combine(g.combine(x, y), z).
  Это означает, что порядок объединения элементов не влияет на итоговый результат.
• Тождественность означает, что если вы объединяете любой элемент x с нейтральным элементом (g.empty), то результат всегда будет равен x. Другими словами, нейтральный элемент не меняет значение x при объединении. Это можно записать так:
  • g.combine(x, g.empty) == x
  • g.combine(g.empty, x) == x
• Обратимость означает, что для каждого элемента x существует обратный элемент x.inverse, при объединении с которым результат будет равен нейтральному элементу g.empty. Это можно записать так:
  • g.combine(x.inverse, x) == g.empty
  • g.combine(x, x.inverse) == g.empty
• Коммутативность означает, что порядок элементов при объединении не важен. Другими словами, результат операции combine будет одинаковым, независимо от того, в каком порядке вы передаёте элементы x и y. Это можно записать так: g.combine(x, y) == g.combine(y, x)

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    } 
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class Group~A~{
      +inverse(x: A) A
    }  
    Monoid <|-- Group 
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class AbelianGroup~A~
    Group <|-- AbelianGroup
    CommutativeMonoid <|-- AbelianGroup

Реализация в библиотеках

Реализация в Spire

import spire.algebra.AbGroup

AbGroup[Int].inverse(1) // -1

Ссылки:

• Spire home page
• Wikipedia