Коммутативное полукольцо

Коммутативное полукольцо - это полукольцо, с коммутативной операцией умножения: для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y = y * x\).

Для полукольца с единицей должны соблюдаться все законы полукольца:

Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y \in S\).
Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in S\) такой, что для \(\forall x \in S\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y = y + x\).
Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y \in S\).
Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
Мультипликативное свойство нуля: \(a * 0 = 0 * a = 0\)

, а также закон коммутативности умножения:

Коммутативность умножения (commutative): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y = y * x\).

Код

trait CSemiring[A] extends Semiring[A]

Законы

Законы полукольца
Коммутативность по умножению означает, что порядок элементов при умножении не важен. Другими словами, результат операции times будет одинаковым, независимо от того, в каком порядке передаются элементы x и y. Это можно записать так: cs.times(x, y) == cs.times(y, x)

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class CommutativeSemiring~A~
    Semiring <|-- CommutativeSemiring

Реализация в библиотеках

Ссылки:

← Полукольцо с единицей Идемпотентное полукольцо →