Коммутативное полукольцо

Коммутативное полукольцо — это полукольцо, в котором операция умножения коммутативна.

Определение коммутативного полукольца

Коммутативное полукольцо — это множество \(S\), на котором определены две бинарные операции:

• Сложение (\(+\)): коммутативная и ассоциативная операция.
• Умножение (\(\cdot\)): ассоциативная и коммутативная операция.

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

• Коммутативность сложения: \(a + b = b + a\) для любых \(a, b \in S\).
• Ассоциативность сложения: \((a + b) + c = a + (b + c)\) для любых \(a, b, c \in S\).
• Ассоциативность умножения: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) для любых \(a, b, c \in S\).
• Коммутативность умножения: \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a, b \in S\).
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:
  • \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) (левая дистрибутивность),
  • \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) (правая дистрибутивность).
• Наличие нулевого элемента: существует элемент \(0 \in S\) такой, что \(0 + a = a + 0 = a\) и \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\) для любого \(a \in S\).

Если в полукольце также существует единичный элемент \(1 \in S\) такой, что \(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\) для любого \(a \in S\), то такое полукольцо называется коммутативным полукольцом с единицей.

Примеры коммутативных полуколец

• Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) с обычными сложением и умножением:
  • Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Дистрибутивность выполняется.
• Множество неотрицательных действительных чисел \(\mathbb{R}_{\geq 0}\) с обычными сложением и умножением:
  • Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны.
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Дистрибутивность выполняется.
• Булево полукольцо:
  • Множество: \({0, 1}\).
  • Операции: логическое ИЛИ (\(+\)) и логическое И (\(\cdot\)).
  • Нулевой элемент: \(0\).
  • Единичный элемент: \(1\).
  • Дистрибутивность выполняется.
• Полукольцо подмножеств:
  • Множество: все подмножества некоторого множества \(X\).
  • Операции: объединение (\(+\)) и пересечение (\(\cdot\)).
  • Нулевой элемент: пустое множество \(\emptyset\).
  • Единичный элемент: само множество \(X\).
  • Дистрибутивность выполняется.
• Тропическое полукольцо:
  • Множество: \(\mathbb{R} \cup {+\infty}\).
  • Операции: минимум (\(+\)) и сложение (\(\cdot\)).
  • Нулевой элемент: \(+\infty\).
  • Единичный элемент: \(0\).
  • Дистрибутивность выполняется.

Зачем нужны коммутативные полукольца?

Коммутативные полукольца находят применение в различных областях:

• Теория автоматов и формальных языков: используются для описания и анализа регулярных выражений.
• Оптимизация: тропическое полукольцо применяется в задачах оптимизации, таких как поиск кратчайших путей в графах.
• Компьютерные науки: используются в алгоритмах, связанных с графами, сетями и логическими операциями.
• Алгебра: изучаются как обобщение колец и полей.

Отличие коммутативного полукольца от некоммутативного

Основное отличие заключается в том, что в коммутативном полукольце операция умножения коммутативна, то есть \(a \cdot b = b \cdot a\) для любых \(a, b \in S\). В некоммутативном полукольце это свойство может не выполняться.

Формальное определение

Коммутативное полукольцо - это полукольцо, с коммутативной операцией умножения: для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y = y * x\).

Для полукольца с единицей должны соблюдаться все законы полукольца:

• Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y \in S\).
• Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in S\) такой, что для \(\forall x \in S\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
• Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x + y = y + x\).
• Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y \in S\).
• Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
• Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in S\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
• Мультипликативное свойство нуля: \(a * 0 = 0 * a = 0\)

, а также закон коммутативности умножения:

• Коммутативность умножения (commutative): для \(\forall x, y \in S\) выполняется \(x * y = y * x\).

Код

trait CSemiring[A] extends Semiring[A]

Числа относительно сложения с 0 и умножения с 1

(Z, +, *)

given CSemiring[Int] with
  val empty: Int                   = 0
  def combine(x: Int, y: Int): Int = x + y
  def times(x: Int, y: Int): Int   = x * y

Законы

• Законы полукольца
• Коммутативность по умножению означает, что порядок элементов при умножении не важен. Другими словами, результат операции times будет одинаковым, независимо от того, в каком порядке передаются элементы x и y. Это можно записать так: cs.times(x, y) == cs.times(y, x)

... // Законы полукольца

def checkTimesCommutativity[A](x: A, y: A)(using
    cs: CSemiring[A]
): ValidatedNel[String, Unit] =
  Either.cond[String, Unit](
    cs.times(x, y) == cs.times(y, x),
    (),
    "Не соблюдается коммутативность по умножению: x * y = y * x"
  ).toValidatedNel

Схема

classDiagram
    class Semigroup~A~{
        +combine(x: A, y: A) A
    }  
    class Monoid~A~{
        +empty() A
    }
    Semigroup <|-- Monoid
    class CommutativeSemigroup~A~
    Semigroup <|-- CommutativeSemigroup  
    class CommutativeMonoid~A~
    Monoid <|-- CommutativeMonoid
    CommutativeSemigroup <|-- CommutativeMonoid
    class Semiring~A~
    CommutativeMonoid <|-- Semiring
    class MultiplicativeSemigroup~A~{
        +times(x: A, y: A) A
    }
    MultiplicativeSemigroup <|-- Semiring
    Semigroup .. MultiplicativeSemigroup
    class CommutativeSemiring~A~
    Semiring <|-- CommutativeSemiring

Реализация в библиотеках

Ссылки:

• Wikipedia