Кольцо с единицей
Формальное определение
Кольцо с единицей - это кольцо, которое имеет мультипликативную единицу.
Для кольца с единицей должны соблюдаться все законы кольца:
- Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
- Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
- Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
- Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
- Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
- Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
- Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
- Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).
, а также закон тождественности по умножению:
- Существование единичного элемента: \(\exists 1 \in R \quad \forall x \in R \quad x * 1 = 1 * x = x\)
Определение в виде кода на Scala
trait RingWithUnity[A] extends Ring[A], SemiringWithUnity[A]Законы в виде кода на Scala
trait RingWithUnityLaw extends RingLaw, SemiringWithUnityLaw:
def checkRingWithUnityLaw[A: RingWithUnity](
x: A,
y: A,
z: A
): ValidatedNel[String, Unit] =
checkRingLaw(x, y, z) combine checkSemiringWithUnityLaw(x, y, z)Примеры
Числа относительно сложения с 0 и умножения с 1
(Z, +, *)
given RingWithUnity[Int] with
val empty: Int = 0
val one: Int = 1
def combine(x: Int, y: Int): Int = x + y
def times(x: Int, y: Int): Int = x * y
extension (a: Int) override def inverse: Int = -aРеализация
Реализация в Spire
import spire.algebra.Ring
import spire.math.Rational
Ring.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Ring.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Ring.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Ring.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
Ring.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
Ring.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
Ring.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1Ссылки: